Question

设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0的解集为（　　）

• A、（-1，0）∪（1，+∞）
• B、（-∞，-1）∪（0，1）
• C、（-1，0）∪（0，1）
• D、（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

考点：函数单调性的性质,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数为奇函数求出f（1）=0，再将不等式x f（x）＜0分成两类加以分析，再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集．

解答： 解：∵f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0，
∴f（1）=-f（-1）=0，在（-∞，0）内也是增函数
∴

f(x)-f(-x)

x

=

2f(x)

x

＜0，
即

x＞0 f(x)＜0

或 

x＜0 f(x)＞0

根据在（-∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数
解得：x∈（-1，0）∪（0，1）
故选：C

点评：本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础题．结合函数的草图，会对此题有更深刻的理解．