Question

已知函数f（x）=cosx-

3

sin（π-x）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（2）若α是第二象限角，且f（α-

π

3

）=-

2

3

，试求

cos2α

1+cos2α-sin2α

的值．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,三角函数的化简求值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用三角恒等变换求得f（x）=2cos(x+

π

3

)，由此可得函数f（x）的最小正周期和值域．
（2）由条件利用三角恒等变换求得cosα、sin2α的值，从而求得

cos2α

1+cos2α-sin2α

的值．

解答： 解：（1）∵f(x)=cosx-

3

sin(π-x)=cosx-

3

sinx=2(

1

2

cosx-

3

2

sinx)=2cos(x+

π

3

)，
∴函数f（x）的最小正周期T=2π，值域为[-2，2]．
（2）由f(α-

π

3

)=-

2

3

得2cosα=-

2

3

，cosα=-

1

3

．
∵α是第二象限角，∴sinα=

1-cos2α

=

1- 1 9

=

2 2

3

，
∴cos2α=2cos2α-1=-

7

9

，sin2α=2sinαcosα=-

4 2

9

，
∴

cos2α

1+cos2α-sin2α

=

- 7 9

1- 7 9 + 4 2 9

=

1-2 2

2

．

点评：本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为

2π

ω

，属于基础题．