Question

设

OM

=（1，

1

2

），

ON

=（0，1），O为坐标原点，动点P（x，y）满足0≤

OP

•

OM

≤1，0≤

OP

•

ON

≤1，则z=

y+3

x+2

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：利用数量积运算可得0≤x+

1

2

y≤1，0≤y≤1．画出可行域如图所示，再利用斜率的计算公式即可得出．

解答： 解：∵

OM

=（1，

1

2

），

ON

=（0，1），O为坐标原点，动点P（x，y）满足0≤

OP

•

OM

≤1，
0≤

OP

•

ON

≤1，
∴0≤x+

1

2

y≤1，0≤y≤1．
画出可行域如图所示，
则z=

y+3

x+2

表示点Q（-2，-3）与可行域中的点P（x，y）连线的斜率．
A（1，0），C(-

1

2

，1)．
∵k_AQ=1，k_CQ=

8

3

．
因此z=

y+3

x+2

的最小值是1．
故答案为：1．

点评：本题考查了数量积运算、线性规划与可行域、斜率的计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了转化方法和计算能力，属于中档题．