Question

若函数y=f（x）（x∈D）同时满足下列条件：
①f（x）在D内为单调函数；
②f（x）的值域为D的子集，则称此函数为D内的“保值函数”．
（Ⅰ）f（x）=

2x+b-4

ln2

是[1，+∞）内的“保值函数”，则b的最小值为

 

；
（Ⅱ）当-1≤a≤1，且a≠0，-1≤b≤1时，g（x）=ax²+b是[0，1]内的“保值函数”的概率为

 

．

Answer 1

考点：几何概型,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,概率与统计

分析：（Ⅰ）由求导判断可得f（x）为增函数，进而可得f（x）的值域，根据题意中保值函数的定义，可得

b-2

ln2

≥1，解可得b的范围，即可得答案．
（Ⅱ）根据题意，由a、b的范围分析可得其表示的平面区域，计算可得其面积，对于函数f（x），分-1≤a＜0与0＜a≤1两种情况，先分析出f（x）的单调性，由此得到f（x）的值域，进而由保值函数的定义，可得关于a、b的不等式组，分析可得其对应的平面区域，易得其面积，综合两种情况可得f（x）为保值函数对应的平面区域即面积，由几何概型公式计算可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）根据题意，f′（x）=2^x＞0，则f（x）在[1，+∞）为增函数，
故f（x）的最小值为f（1）=

b-2

ln2

，其最大值不存在，则f（x）的值域为[

b-2

ln2

，+∞），
又由f（x）在[1，+∞）是“保值函数”，
则有

b-2

ln2

≥1，解可得b≥2+ln2；
故b的最小值为2+ln2．
（Ⅱ）根据题意，-1≤a≤1，且a≠0，-1≤b≤1，
则a、b确定的区域为边长为2的正方形，其面积为4；
对于f（x），有f′（x）=2ax，x∈[0，1]，
当-1≤a＜0时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
则f（x）的最大值为f（0）=b，最小值为f（1）=a+b，则f（x）的值域为[a+b，a]，
若f（x）为保值函数，则有

0≤a+b a≤1

，
其表示的区域为阴影三角形A，面积为

1

2

，
当0＜a≤1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
则f（x）的最小值为f（0）=b，最大值为f（1）=a+b，则f（x）的值域为[a，a+b]，
若f（x）为保值函数，则有

b≥0 a+b≤1

，
其表示的区域为阴影三角形B，面积为

1

2

；
f（x）为保值函数对应区域的面积为1；
则f（x）为保值函数的概率为

1

4

；
故答案为：2+ln2；

1

4

．

点评：本题考查几何概型的计算以及函数单调性的应用，关键是理解保值函数的定义．