Question

3．一直线 l 过直线 l₁：2x-y=1 和直线 l₂：x+2y=3 的交点 P，且与直线 l₃：x-y+1=0 垂直．
（1）求直线 l 的方程；
（2）若直线 l 与圆 C：（x-a）²+y ²=8 （a＞0）相切，求 a．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y=1}\\{x+2y=3}\end{array}}\right.$解得P的坐标，再求出直线斜率，即可求直线 l 的方程；
（2）若直线 l 与圆 C：（x-a）²+y ²=8 （a＞0）相切，a＞0且C到直线l的距离为$2\sqrt{2}$，由此即可求 a．

解答 解：（1）由$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y=1}\\{x+2y=3}\end{array}}\right.$解得P（1，1）…（1分）
又直线l与直线l₃：x-y+1=0垂直，故l的斜率为-1
所以l：y-1=-（x-1）…（3分）
即直线l的方程为x+y-2=0…（4分
（2）由题设知C（a，0），半径$r=2\sqrt{2}$…（5分）
因为直线l与圆C：（x-a）²+y²=8相切，∴a＞0且C到直线l的距离为$2\sqrt{2}$…（6分）
∴$\frac{|a-2|}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}$
得a=6或a=-2（舍） …（9分）
∴a=6．…（10分）

点评 本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．