Question

11．如图，四边形 ABCD是平行四边形，AB=1，AD=2，AC=$\sqrt{3}$，E 是 AD的中点，BE与AC 交于点F，GF⊥平面ABCD．
（1）求证：AB⊥面AFG；
（2）若四棱锥G-ABCD 的体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，求B 到平面ADG 的距离．

Answer 1

分析 （1）证明AB⊥AC，AB⊥GF，即可证明AB⊥面AFG；
（2）若四棱锥G-ABCD 的体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，求出GF，利用等体积方法求B 到平面ADG 的距离．

解答 （1）证明：∵AB=1，AD=2，AC=$\sqrt{3}$，
∴BC²=AB²+AC²，
∴AB⊥AC，
∵GF⊥平面ABCD，
∴AB⊥GF，
∵GF∩AC=F，
∴AB⊥面AFG；
（2）解：由（1）可知S_ABCD=$\sqrt{3}$，
四棱锥G-ABCD 的体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$=$\frac{1}{3}•\sqrt{3}•GF$，∴GF=$\frac{1}{2}$，
$∠CAD=\frac{π}{6}，∠BAC=\frac{π}{2}$，
∴$∠BAD=\frac{2π}{3}$，AB=AE=1，
∴$∠AEB=\frac{π}{6}$，∴△AEF为等腰三角形，AE=1，
∴AF=EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AG=GE=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{21}}{6}$，
△AGE中，AE边上的高为$\sqrt{\frac{7}{12}-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△AEG=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，S_△ABE=$\frac{1}{2}×AB×AE×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×GF=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{6}h$，∴h=$\frac{3}{4}$，
即B 到平面ADG 的距离为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查点到平面的距离距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查计算能力．