Question

13．如果直线x=ky-1与圆C：x²+y²+kx+my+2p=0相交，且两个交点关于直线y=x对称，那么实数p的取值范围是（　　）

• A． $（{-∞，-\frac{3}{2}}）$
• B． $（{-∞，-\frac{3}{4}}）$
• C． $（{-\frac{3}{4}，+∞}）$
• D． $（{-\frac{3}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 根据圆的性质，得直线x=ky-1与直线y=x垂直且圆心C（-$\frac{k}{2}$，-$\frac{m}{2}$）在直线y=x上，由此解出k=m=-1，从而得到直线和圆的方程，再由圆心C到直线的距离小于半径，利用点到直线的距离公式即可算出实数p的取值范围．

解答 解：∵直线x=ky-1与圆C相交，且两个交点关于直线y=x对称，
∴圆心C（-$\frac{k}{2}$，-$\frac{m}{2}$）在直线y=x上，可得m=k
∵直线x=ky-1与直线y=x垂直，∴k=m=-1
得直线方程x=-y-1即x+y+1=0，
圆C：x²+y²-x-y+p=0，圆心C（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），半径R=$\sqrt{\frac{1}{2}-p}$
∵直线x+y+1=0与圆C相交，
∴$\frac{|\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1|}{\sqrt{2}}$＜$\sqrt{\frac{1}{2}-p}$，解之得p＜-$\frac{3}{2}$，
即实数p的取值范围是（-∞，-$\frac{3}{2}$）．
故选A．

点评 本题给出直线与圆相交且交点关于直线y=x对称，求参数p的取值范围，着重考查了点到直线的距离公式、直线与圆的方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．