Question

已知0＜α＜β＜

π

2

，cos（α-β）=

5

13

，sinβ=

3

5

，
（1）求cos2β的值；     
（2）求sinα的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,二倍角的余弦

专题：

分析：（1）利用倍角公式cos2β=1-2sin²β，代入求值；（2）拆角α=（α-β）+β，然后利用两角和的正弦公式展开求解，使用平方关系式时注意判断符号．

解答： 解：（1）cos2β=1-2sin²β=1-

32

25

=-

7

25

  
（2）因为0＜α＜β＜

π

2

所以α，β均为锐角
故-

π

2

＜α＜β＜0，α-β为第四象限角    
所以sin（α-β）=-

1-cos2(α-β)

=-

12

13

，
cosβ=

1-sin2β

=

4

5

 
所以sinα=sin[（α-β）+β]
=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ
=-

33

65

．

点评：二倍角的余弦公式有三个，在使用时要根据条件选择恰当的公式；在三角函数求值时要注意分析角的关系，用已知解表示要求的角．