题目内容
函数f（x）=x2+ax+3，x∈[0，2]
（Ⅰ）若a=2，求f（x）的最值，并说明当f（x）取最值时的x的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．
（Ⅰ）若a=2，求f（x）的最值，并说明当f（x）取最值时的x的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．
考点：二次函数在闭区间上的最值,函数恒成立问题
专题：函数的性质及应用
分析：（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=x2+2x+3=（x+1）2+2，由于f （x）的对称轴为x=-1，f （x）在[0，2]上是增函数，由此求得f（x）的最值，以及f（x）取最值时的x的值．
（Ⅱ）[法一]：由题意可得 x2+ax+3≥0对于x∈[0，2]恒成立，故f（x）=x2+ax+3的最小值大于或等于零，结合二次函数f（x）=x2+ax+3的图象与性质，求得a的取值范围．
法二：当x=0时，可得a∈R，满足条件．当x∈（0，2]时，可得a≥-(x+
)，令 g(x)=-(x+
)，利用基本不等式求得g（x）的最大值，即可得到a的取值范围．
（Ⅱ）[法一]：由题意可得 x2+ax+3≥0对于x∈[0，2]恒成立，故f（x）=x2+ax+3的最小值大于或等于零，结合二次函数f（x）=x2+ax+3的图象与性质，求得a的取值范围．
法二：当x=0时，可得a∈R，满足条件．当x∈（0，2]时，可得a≥-(x+
| 3 |
| x |
| 3 |
| x |
解答：
解：（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=x2+2x+3=（x+1）2+2，
由于f （x）的对称轴为x=-1，f （x）在[0，2]上是增函数，…（1分）
故当x=0时，f（x）min=f（0）=3；…（3分）
当x=2时，f（x）max=f（2）=11．…（5分）
（Ⅱ）[法一]：若f（x）≥0恒成立，即x2+ax+3≥0对于x∈[0，2]恒成立，故f（x）=x2+ax+3的最小值大于或等于零．
结合二次函数f（x）=x2+ax+3的图象与性质得：△=a2-4×3≤0，或
，或
． …（9分）
解得-2
≤a≤2
或a≥0或a∈φ，…（11分）
所以a得取值范围是[-2
，+∞)．…（12分）
法二：当x=0时，可得a∈R，当x∈（0，2]时，可得a≥-(x+
)，令 g(x)=-(x+
)，由于x+
≥2
，当且仅当x=
时，取等号．
故有-（x+
）≤-2
，故 g(x)max=g(
)=2
，从而，a≥-2
．
由于f （x）的对称轴为x=-1，f （x）在[0，2]上是增函数，…（1分）
故当x=0时，f（x）min=f（0）=3；…（3分）
当x=2时，f（x）max=f（2）=11．…（5分）
（Ⅱ）[法一]：若f（x）≥0恒成立，即x2+ax+3≥0对于x∈[0，2]恒成立，故f（x）=x2+ax+3的最小值大于或等于零．
结合二次函数f（x）=x2+ax+3的图象与性质得：△=a2-4×3≤0，或
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解得-2
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| 3 |
所以a得取值范围是[-2
| 3 |
法二：当x=0时，可得a∈R，当x∈（0，2]时，可得a≥-(x+
| 3 |
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
| 3 |
故有-（x+
| 3 |
| x |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
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点评：本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，求二次函数在闭区间上的最值，属于中档题．
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