Question

某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．
（1）求出第4组的频率；
（2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？

Answer 1

考点：频率分布直方图,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（1）根据频率分步直方图的性质，根据所给的频率分步直方图中小矩形的长和宽，求出矩形的面积，即这组数据的频率．
（2）根据概率公式计算，事件“5位同学中抽两位同学”有10种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件“至少有一人是“优秀””可能种数是9，那么即可求得事件M的概率．

解答： 解：（1）其它组的频率为
（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.8，
所以第四组的频率为0.2，…（5分）
（2）依题意良好的人数为40×0.4=16人，优秀的人数为40×0.6=24人
优秀与良好的人数比为3：2，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人，记从这5人中选2人至少有1人是优秀为事件M，将考试成绩优秀的三名学生记为A，B，C，考试成绩良好的两名学生记为a，b  从这5人中任选2人的所有基本事件包括：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10个基本事件
事件M含的情况是：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共9个
所以P(M)=

9

10

…（12分）

点评：本题考查频率分步直方图的性质，考查等可能事件的概率，本题是一个概率与统计的综合题目．