Question

已知函数f（x）=lnx+a（x²-x）
（1）若a=-1，求证f（x）有且仅有一个零点；
（2）若对于x∈[1，2]，函数f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角都不大于

π

4

，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数的零点,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导函数，求得函数的单调性，求出函数的最值，即可得证结论；
（2）由已知，0≤f'（x）≤1在x∈[1，2]上恒成立，分离参数求最值，可求实数a的取值范围；
（3）f（x）存在单调递减区间，等价于f′(x)=

2ax2-ax+1

x

＜0在（0，+∞）上有解，即2ax²-ax+1＜0在（0，+∞）上有解，分类讨论求最值，即可求实数a的取值范围．

解答： （1）证明：f（x）=lnx-x²+x（x＞0），f′(x)=

1

x

-2x+1=

-(x-1)(2x+1)

x

令f'（x）=0，得x=1，
令f'（x）＞0，∵x＞0，∴0＜x＜1；令f'（x）＜0，
∵x＞0，∴x＞1，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
∴f（x）_最大值=f（1）=0，
∴f（x）有且仅有一个零点，该零点即为1．---------（4分）
（2）解：f′(x)=

2ax2-ax+1

x

，由已知，0≤f'（x）≤1在x∈[1，2]上恒成立．---------（6分）
由f'（x）≤1在x∈[1，2]上恒成立，可得a≤(

x-1

2x2-x

)min=0
由f'（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，可得a≥(

-1

2x2-x

)max=-

1

6

∴-

1

6

≤a≤0-------------------（10分）
（3）解：f（x）存在单调递减区间，等价于f′(x)=

2ax2-ax+1

x

＜0在（0，+∞）上有解，即2ax²-ax+1＜0在（0，+∞）上有解
记g（x）=2ax²-ax+1，x∈（0，+∞）
当a=0时，g（x）=1，不满足条件；
当a＜0时，g（x）为开口向下的二次函数，2ax²-ax+1＜0在（0，+∞）上恒有解；
当a＞0时，g（x）为开口向上的二次函数，对称轴为x=

1

4

，2ax²-ax+1＜0在（0，+∞）上有解，只需g（x）_min＞0，即g(

1

4

)＞0，解得a＞8
综上所述，a的取值范围为（-∞，0）∪（8，+∞）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．