Question

16．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t为参数，α∈[0，π））．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=4sinθ．
（Ⅰ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于两点A，B，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4sinθ=0，可得ρ²sin²θ=4ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程，再根据二次函数的性质即可求出x+y的范围，
（Ⅱ）由直线l的参数方程，消去参数t可得普通方程，直线方程与抛物线方程联立化为：x²-4xtanα-4=0，利用根与系数的关系及其弦长公式即可求出

解答 解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=4sinθ，
可得ρ²sin²θ=4ρsinθ=0，可得直角坐标方程：x²=4y．
∴x+y=x+$\frac{1}{4}$x²=$\frac{1}{4}$（x+2）²-1≥-1，
故x+y的取值范围为[-1，+∞）
（Ⅱ）直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t为参数）消掉参数t，得到y-1=xtanα，
代入到x²=4y，x²-4xtanα-4=0，
∴x₁+x₂=4tanα，x₁x₂=-4
∴|AB|=$\sqrt{1+ta{n}^{2}α}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+ta{n}^{2}α}$•4•$\sqrt{1+ta{n}^{2}α}$=4（1+tan²α）≥4．当且仅当α=0取等号，
故|AB|的最小值为4．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程的方法、参数方程及其应用、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．