Question

6．关于曲线C：x²+y⁴=1，给出下列四个命题：
①曲线C有两条对称轴，一个对称中心；  
②曲线C上的点到原点距离的最小值为$\frac{1}{2}$；
③曲线C的长度l满足l＞4$\sqrt{2}$；     
④曲线C所围成图形的面积S满足π＜S＜4．
上述命题中，则真命题的个数有3个．

Answer 1

分析 由曲线C的方程可得x²+y²≥1，|x|≤1，|y|≤1，从而可得出曲线C的大体范围，结合图形推导结论．

解答 解：设P（x，y）是曲线上一点，则P关于x轴的对称点（x，-y）显然也在曲线C上，
∴曲线C关于x轴对称，
同理可得曲线C关于y轴对称，关于原点对称，故①正确；
∵x²=1-y⁴=（1-y²）•（1+y²）≥（1-y²），∴x²+y²≥1，即$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$≥1．
∴曲线上任意一点到原点的距离最小值为1，（当且仅当y=0时，x等于1）
故②错误；
由②可得，曲线C所上的点在单位圆x²+y²=1的外部或圆上，∴S＞π，
由x²+y⁴=1可得|x|≤1，|y|≤1，（不能同时取1）
∴曲线C上的点在以2为边长的正方形ABCD内部或边上，∴S＜4，
故④正确；
设曲线C的上顶点为M，右顶点为N，则MN=$\sqrt{2}$，
由两点之间线段最短可知曲线C在第一象限内的长度大于$\sqrt{2}$，
同理曲线C在每一象限内的长都大于$\sqrt{2}$，故l＞4$\sqrt{2}$，故③正确．
故答案为：3．

点评 本题考查曲线的性质，命题的真假判断，注意运用不等式的性质和数形结合的思想方法，考查推理能力和判断能力，属于中档题．