Question

6．已知矩阵A=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{\sqrt{2}}\end{array}]$所对应的变换T把曲线C变成曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，求曲线C的方程．

Answer 1

分析 根据矩阵变换得出变换前后坐标的变化规律，把变换后的坐标代入C₁即可得出曲线C的方程．

解答 解：设曲线C上任一点为（x，y），经过变换T变成（x₀，y₀），
则$（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{\sqrt{2}}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{{x}_{0}}\\{{y}_{0}}\end{array}）$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=x}\\{{y}_{0}=\sqrt{2}y}\end{array}\right.$．
∵（x₀，y₀）在曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1上，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$=1，即$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
∴曲线C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．

点评 本题考查了矩阵变换，属于基础题．