题目内容

8．使函数f（x）=2x3-9x2+12x-a图象与x轴恰有两个不同的交点，则实数a可能的取值为（　　）
A．8B．6C．4D．2

分析 求出f（x）的单调性和极值，令极值为0得出a的值．

解答 解：f′（x）=6x2-18x+12，
令f′（x）=0得x2-3x+2=0，解得x=1，或x=2．
∴当x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，
当1＜x＜2时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5-a，
当x=2时，f（x）取得极小值f（2）=4-a，
∵f（x）只有两个零点，
∴5-a=0或4-a=0，即a=5或a=4．
故选C．

点评 本题考查了函数的零点与函数单调性、极值的关系，属于中档题．

练习册系列答案
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18．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A、B、C所对的，若$cosB=\frac{1}{4}，b=2，sinC=2sinA$，则△ABC的面积为（　　）
A．$\frac{{\sqrt{15}}}{6}$B．$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$C．$\frac{{\sqrt{15}}}{2}$D．$\sqrt{15}$
19．已知直线λ经过P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线λ的方程．
（1）倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍；
（2）直线在两坐标轴上的截距相等．
16．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t为参数，α∈[0，π））．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．
（Ⅰ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于两点A，B，求|AB|的最小值．
3．已知集合A={1，2，3，4，5，6}，B={3，4，5，6，7，8}，在集合A∪B中任取一个元素，则该元素是集合A∩B中的元素的概率为（　　）
A．$\frac{1}{6}$B．$\frac{3}{7}$C．$\frac{5}{8}$D．$\frac{1}{2}$
13．已知向量|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），且 $\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{2π}{3}$，
（1）求|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|；
（2）若（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），求实数k的值．
20．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，各个顶点围成的菱形面积为2$\sqrt{3}$．
（1）求C的方程；
（2）过右顶点A的直线l交椭圆C于A，B两点．
①若|AB|=$\frac{4\sqrt{15}}{7}$，求l的方程；
②点P（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=3，求y0．
17．已知向量$\overrightarrow a=（1，\sqrt{3}）$，$|{\overrightarrow b}|=4$，且（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）⊥$\overrightarrow a$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角是（　　）
A．$\frac{2π}{3}$B．$\frac{π}{3}$C．$\frac{π}{4}$D．$\frac{π}{6}$
18．复数$z=\frac{2+mi}{1+i}（m∈R）$是实数，则m=（　　）
A．-2B．-1C．1D．2

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