Question

7．（1）解不等式|2x+1|-|x-4|＞2；
（2）已知：a＞0，b＞0，求证：$\frac{a}{{\sqrt{b}}}+\frac{b}{{\sqrt{a}}}≥\sqrt{a}+\sqrt{b}$．

Answer 1

分析 （1）对x的范围进行讨论，去绝对值符号解出；
（2）使用作差法证明．

解答 （1）解：①若x≤-$\frac{1}{2}$，则不等式为-2x-1-（4-x）＞2，解得x＜-7，
②若-$\frac{1}{2}$＜x≤4，则不等式为2x+1-（4-x）＞2，解得$\frac{5}{3}$＜x≤4，
③若x＞4，则不等式为2x+1-（x-4）＞2，解得x＞4，
综上，原不等式的解集为 {x|x＜-7或x＞$\frac{5}{3}$}．
（2）证明：∵a＞0，b＞0
∴$\frac{a}{{\sqrt{b}}}+\frac{b}{{\sqrt{a}}}-\sqrt{a}-\sqrt{b}$=$\frac{{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}-a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}}{{\sqrt{ab}}}$=$\frac{{（a-b）\sqrt{a}+（b-a）\sqrt{b}}}{{\sqrt{ab}}}$=$\frac{{{{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}^2}（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}}{{\sqrt{ab}}}≥0$．
∴$\frac{a}{{\sqrt{b}}}+\frac{b}{{\sqrt{a}}}≥\sqrt{a}+\sqrt{b}$．

点评 本题考查了含绝对值不等式的解法，不等式的证明，属于中档题．