Question

实数x，y满足

x≥0 x-2y≥0 2x-y-3≤0

．
（Ⅰ）求z=

y

x+1

的取值范围；
（Ⅱ）若函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为3，求t=a•（1+b）的最大值．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）画出不等式组表示的可行域，利用z=

y

x+1

的几何意义，求出它的取值范围；
（Ⅱ）转化函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的斜率，利用几何意义通过最大值为3，得到2a+b=3，利用基本不等式求t=a•（1+b）的最大值．

解答： （本小题满分14分）
解：（ I）做可行域如图中阴影所示．
设P（x，y）为可行域内任一点，M（-1，0）．
则z=

y

x+1

=kPM…1分．
A（2，1），B（0，-3），kMB=-3， kMA=

1

3

…1分
∴z=

y

x+1

∈[-3， 

1

3

]….2分．
（ II）z=ax+by?y=-

a

b

x+

1

b

z
表示一族斜率为-

a

b

(＜0)，纵截距为

1

b

z的平行直线   …1分．
当直线过点A（2，1）时，纵截距最大，z也取最大，z_max=2a+b=3…2分．
t=a•(1+b)=2a•(1+b)×

1

2

≤(

2a+1+b

2

)2×

1

2

=2….2分．
取“=”当且仅当

2a=1+b 2a+b=3 a＞0，b＞0

即

a=1 b=1

…..1分．
∴t_max=2…1分．

点评：本题考查线性规划的应用，基本上求解表达式的最值，考查分析问题解决问题的能力．