Question

已知关于x的不等式|x+1|+|2x-1|＜|m-1|+|m-2|有解，求m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,分类讨论,不等式的解法及应用

分析：令f（x）=|x+1|+|2x-1|，分当x≥

1

2

时，当-1＜x＜

1

2

时，当x≤-1时，求得函数的值域，得到最小值，再对当m≥2时，当1＜m＜2时，当m≤1时，求出m的范围，最后再求并集即可．

解答： 解：令f（x）=|x+1|+|2x-1|，
当x≥

1

2

时，f（x）=x+1+2x-1=3x，且f（x）≥

3

2

；
当-1＜x＜

1

2

时，f（x）=x+1+1-2x=2-x，且

3

2

＜f（x）＜3；
当x≤-1时，f（x）=-x-1+1-2x=-3x，且f（x）≥3．
则有f（x）的值域为：[

3

2

，+∞）．
由于关于x的不等式|x+1|+|2x-1|＜|m-1|+|m-2|有解，
则|m-1|+|m-2|＞

3

2

，
当m≥2时，m-1+m-2＞

3

2

，解得m＞

9

4

，即有m＞

9

4

；
当1＜m＜2时，m-1+2-m＞

3

2

，则m无解；
当m≤1时，1-m+2-m＞

3

2

，解得m＜

3

4

，即有m＜

3

4

．
综上可得，m的取值范围是：（

9

4

，+∞）∪（-∞，

3

4

）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查含绝对值函数的最值问题，注意分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．