Question

1．已知数列{a_n}满足：${a_1}=2，{a_2}=\frac{2}{3}，{a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}{a_{n+1}}}}{{{a_{n-1}}+{a_{n+1}}}}\;（n∈{N^*}，n≥2）$．
（1）求证：数列$\{\;\frac{1}{a_n}\;\}$为等差数列；
（2）求数列$\{\;\frac{a_n}{2n+1}\;\}$的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}（n∈{N^*}，n≥2）$，从而$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_1}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1（n∈{N^*}，n≥2）$，由此能证明数列$\{\frac{1}{a_n}\}$为等差数列，首项为$\frac{1}{a_1}=\frac{1}{2}$，公差为d=1．
（Ⅱ）由$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}+（n-1）×1=n-\frac{1}{2}$，得到${a_n}=\frac{1}{{n-\frac{1}{2}}}=\frac{2}{2n-1}$，从而$\frac{a_n}{2n+1}=\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，由此能求出数列$\{\;\frac{a_n}{2n+1}\;\}$的前n项和S_n．

解答 （12分）
解：（Ⅰ）因为${a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}{a_{n+1}}}}{{{a_{n-1}}+{a_{n+1}}}}（n∈{N^*}，n≥2）$，
所以$\frac{2}{a_n}=\frac{1}{{{a_{n-1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}（n∈{N^*}，n≥2）$，
即：$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}（n∈{N^*}，n≥2）$，
又因为${a_1}=2，{a_2}=\frac{2}{3}$，
所以$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_1}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1（n∈{N^*}，n≥2）$
所以数列$\{\frac{1}{a_n}\}$为等差数列，首项为$\frac{1}{a_1}=\frac{1}{2}$，公差为d=1．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}+（n-1）×1=n-\frac{1}{2}$，
所以${a_n}=\frac{1}{{n-\frac{1}{2}}}=\frac{2}{2n-1}$，
所以$\frac{a_n}{2n+1}=\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，
所以${S_n}=\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{5}+…+\frac{a_n}{2n+1}=（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$1-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}$．（12分）

点评 本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，考查等差数列、裂项求和法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．