Question

4．分别根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）右焦点为$F（\sqrt{5}\;，\;0）$，离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
（2）实轴长为4的等轴双曲线．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分析可得：双曲线焦点在x轴上，且c=$\sqrt{5}$，由离心率公式可得a的值，结合双曲线的几何性质可得b的值，将a、b的值代入计算可得答案；
（2）根据题意，分析可得b=a=2，分双曲线的焦点在x轴、y轴上两种情况讨论，分别求出双曲线的方程，即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，因为右焦点为$F（\sqrt{5}\;，\;0）$，所以双曲线焦点在x轴上，且c=$\sqrt{5}$，
又离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，所以a=2，
则b²=c²-a²=1，
所以所求双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1；
（2）因为实轴长为4，所以2a=4，即a=2，
所以由等轴双曲线得b=a=2，
当焦点在x轴上时，所求双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
当焦点在y轴上时，所求双曲线的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查双曲线的标准方程，注意分析双曲线焦点的位置．