Question

8．已知圆C：x²+y²=4，直线l：y+x-t=0，P为直线l上一动点，O为坐标原点．
（1）若直线l交圆C于A、B两点，且∠AOB=$\frac{2π}{3}$，求实数t的值；
（2）若t=4，过点P做圆的切线，切点为T，求$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PT}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由∠AOB=$\frac{2π}{3}$，得到圆心到直线l的距离为1，由此求出圆心（0，0）到直线l的距离$\frac{|-t|}{\sqrt{2}}$=1，从而能求出t．
（2）$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PT}$=|$\overrightarrow{PO}$|•|$\overrightarrow{PT}$|•cosθ=|$\overrightarrow{PT}$|²=|$\overrightarrow{PO}$|²-4，求出|$\overrightarrow{PQ}$|的最小值d=2$\sqrt{2}$，由此能求出$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PT}$的最小值．

解答 解：（1）∵圆C：x²+y²=4，直线l：y+x-t=0，P为直线l上一动点，O为坐标原点．
直线l交圆C于A、B两点，且∠AOB=$\frac{2π}{3}$，
∴圆心到直线l的距离为1，
即圆心（0，0）到直线l的距离d=$\frac{|-t|}{\sqrt{2}}$=1，
解得t=$±\sqrt{2}$．
（2）∵t=4，过点P做圆的切线，切点为T，
∴$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PT}$=|$\overrightarrow{PO}$|•|$\overrightarrow{PT}$|•cosθ=|$\overrightarrow{PT}$|²=|$\overrightarrow{PO}$|²-4，
∴求$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PT}$的最小值．等价于求|$\overrightarrow{PQ}$|²-4的最小值，
∵|$\overrightarrow{PQ}$|的最小值d=$\frac{|4|}{\sqrt{1+1}}$=2$\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PT}$的最小值为（2$\sqrt{2}$）²-4=4．

点评 本题考查实数值的求法，考查向量的数量积的最小值的求法，考查圆、点到直线的距离公式、向量的数量积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．