Question

如果关于x的方程sin²x-（2+a）sinx+2a=0在x∈[-

π

6

，

5π

6

]上有两个实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：转化思想,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：讨论x的取值，得出sinx的取值情况，设sinx=t，转化为求函数f（t）=t²-（2+a）t+2a在[-

1

2

，1]上有两个零点，和f（t）在[

1

2

，1]上有一个零点时a的取值范围．

解答： 解：∵x∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴当x∈[-

π

6

，

π

2

]时，
sinx∈[-

1

2

，1]，
x∈（

π

2

，

5π

6

]时，sinx∈[

1

2

，1）；
设sinx=t，
则t²-（2+a）t+2a=0；
∴当函数f（t）=t²-（2+a）t+2a在[-

1

2

，1]上有两个零点，
∴

f(- 1 2 )≥0 f(1)≥0 △＞0 - 1 2 ＜ 2+a 2 ＜1

，
即

a≥- 1 2 a≥1 a≠2 -3＜a＜0

，
不等式的解集为∅；
当函数f（t）=t²-（2+a）t+2a在[

1

2

，1]上有一个零点时，
f（

1

2

）•f（1）＜0，
解得

1

2

＜a＜1，满足题意；
综上，实数a的取值范围是{a|

1

2

＜a＜1}．

点评：本题考查了求函数的零点的问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查了转化思想，是中档题．