Question

已知函数f（x）=

3

sin（2ωx-

π

3

）+b，且该函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为

π

4

，且当x∈[0，

π

3

]时，f（x）的最大值为1．
（1）求f（x）的函数的解析式；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）若f（x）-3≤m≤f（x）+3在[0，

π

3

]上恒成立，求m的范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的单调性,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先利用利用函数的周期确定ω的值，利用定义域确定b的值进一步确定函数的解析式．
（2）利用整体思想确定单调区间．
（3）根据（1）的结论，若f（x）_max-3≤m≤f（x）_min+3在[0，

π

3

]上恒成立即可．进一步求出m的范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=

3

sin（2ωx-

π

3

）+b，且该函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为

π

4

，
则：T=π，
ω=1，
所以：f（x）=

3

sin（2x-

π

3

）+b，
当x∈[0，

π

3

]时，-

π

3

≤2x-

π

3

≤

π

3

，
f(x)max=

3

2

+b，
f（x）的最大值为1，
解得：b=-

1

2

，
函数的解析式为：f（x）=

3

sin（2x-

π

3

）-

1

2

．
（2）令

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），
解得：kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，
故函数的单调递减区间为：[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]（k∈Z）．
（3）若f（x）-3≤m≤f（x）+3在[0，

π

3

]上恒成立，
只需满足：若f（x）_max-3≤m≤f（x）_min+3在[0，

π

3

]上恒成立即可，
故解得：-2≤m≤2．

点评：本题考查的知识要点：利用函数的周期确定ω的值，利用定义域确定b的值进一步确定函数的解析式，利用整体思想确定单调区间，恒成立问题的应用，属于基础题型．