Question

如图，△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2．将△BAO沿AO折起，使B点与图中B'点重合．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面B′OC；
（Ⅱ）当三棱锥B'-AOC的体积取最大时，求二面角A-B′C-O的余弦值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段B′A上是否存在一点P，使CP与平面B′OA所成的角的正弦值为

2

3

？证明你的结论．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明AO⊥OB'，AO⊥OC，然后利用直线与平面垂直的判定定理证明AO⊥平面B'OC．
（Ⅱ）在平面B'OC内，作B'D⊥OC于点D，判断当D与O重合时，三棱锥B'-AOC的体积最大，
解法一：过O点作OH⊥B'C于点H，连AH，说明∠AHO即为二面角A-B'C-O的平面角，然后就三角形即可得到结果．解法二：依题意得OA、OC、OB'两两垂直，分别以射线OA、OC、OB'为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面B'OC的法向量为

n

，求出平面AB'C的法向量为

m

，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值．（Ⅲ）解法一：存在，且为线段AB'的中点，证明设

AP

=λ

AB′

=(-2λ，0，λ)，求出

CP

，以及平面B'OA的法向量

n

=(0，1，0)，利用空间向量的距离公式求解即可．
解法二：连接OP，因为CO⊥平面B'OA，得到∠OPC为CP与面B'OA所成的角，通过就三角形即可求出AB′=

5

即P为AB'的中点．

解答： 解：（Ⅰ）∵AB=AC且O是BC中点，∴AO⊥BC即AO⊥OB'，AO⊥OC，
又∵OB'∩OC=O，∴AO⊥平面B'OC…（3分）
（Ⅱ）在平面B'OC内，作B'D⊥OC于点D，则由（Ⅰ）可知B'D⊥OA
又OC∩OA=O，∴B'D⊥平面OAC，即B'D是三棱锥B'-AOC的高，
又B'D≤B'O，所以当D与O重合时，三棱锥B'-AOC的体积最大，
…（5分）
解法一：过O点作OH⊥B'C于点H，连AH，由（Ⅰ）知AO⊥平面B'OC，
又B'C⊆平面B'OC，∴B'C⊥AO∵AO∩OH=O，∴B'C⊥平面AOH，∴B'C⊥AH，
∴∠AHO即为二面角A-B'C-O的平面角．…（7分）Rt△AOH中，AO=2，OH=

2

2

，∴AH=

3 2

2

，
∴cos∠AHO=

OH

AH

=

1

3

，
故二面角A-B₁C-O的余弦值为

1

3

…（9分）
解法二：依题意得OA、OC、OB'两两垂直，分别以射线OA、OC、OB'
为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系O-xyz，
设平面B'OC的法向量为

n

，可得

n

=(1，0，0)
设平面AB'C的法向量为

m

，由

m • AB′ =0 m • AC =0

⇒

m

=(1，2，2)…（7分）cos?

m，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

1× 1+4+4

=

1

3

，
故二面角A-B′C-O的余弦值为：

1

3

．…（9分）
（Ⅲ）解法一：存在，且为线段AB'的中点
证明如下：设

AP

=λ

AB′

=(-2λ，0，λ)

CP

=

CA

+

AP

=(2-2λ，-1，λ)…（11分）
又平面B'OA的法向量

n

=(0，1，0)，
依题意得

| CP • n |

| CP || n |

=

2

3

⇒

1

5λ2-8λ+5

=

2

3

⇒20λ2-32λ+11=0…（13分）
解得λ=

1

2

(λ=

11

10

＞1舍去）…（14分）
解法二：连接OP，因为CO⊥平面B'OA，
所以∠OPC为CP与面B'OA所成的角，…（11分）
故sin∠OPC=

2

3

，cos∠OPC=

5

3

，tan∠OPC=

2

5

=

OC

OP

=

1

OP

，∴OP=

5

2

…（13分）
又直角OB'A中，OA=2，OB'=1，∴AB′=

5

即P为AB'的中点…（14分）

点评：本题考查空间向量数量积的应用，二面角的大小的求法，几何法求法距离以及夹角的方法，考查转化思想以及计算能力．