Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的周期为π，且图象上有一个最低点为M（

2π

3

，-3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求使f（x）＜

3

2

成立的x的取值集合．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意知：A=3，ω=2，由3sin（2×

2π

3

+φ）=-3，得φ+

4π

3

=-

π

2

+2kπ，k∈Z，而0＜φ＜

π

2

，所以确定φ的值，故f（x）=3sin（2x+

π

6

）．
（2）f（x）＜

3

2

等价于3sin（2x+

π

6

）＜

3

2

，即sin（2x+

π

6

）＜

1

2

，可得2kπ-

7π

6

＜2x+

π

6

＜2kπ+

π

6

（k∈Z），解得kπ-

2π

3

＜x＜kπ（k∈Z）．

解答： 解：（1）由题意知：A=3，ω=2，…（1分）
由3sin（2×

2π

3

+φ）=-3，…（2分）
得φ+

4π

3

=-

π

2

+2kπ，k∈Z，…（3分）
即φ=

-11π

6

+2kπ，k∈Z．…（4分）
而0＜φ＜

π

2

，所以k=1，φ=

π

6

．…（5分）
故f（x）=3sin（2x+

π

6

）．…（6分）
（2）f（x）＜

3

2

等价于3sin（2x+

π

6

）＜

3

2

，
即sin（2x+

π

6

）＜

1

2

，…（7分）
于是2kπ-

7π

6

＜2x+

π

6

＜2kπ+

π

6

（k∈Z），…（9分）
解得kπ-

2π

3

＜x＜kπ（k∈Z），…（11分）
故使f（x）＜

3

2

成立的x的取值集合为{x|kπ-

2π

3

＜x＜kπ，k∈Z}．…（12分）

点评：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于基本知识的考查．