Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F为PC的三等分点．
（Ⅰ）证明：AC⊥PB；
（Ⅱ）若PD=

3

，AD=2，∠BAD=60°，求二面角P-BC-A的大小；
（Ⅲ）在直线PB上是否存在一点G，使平面BDE∥平面AFG？说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得PD⊥AC，AC⊥BD，从而AC⊥平面PBD，由此能证明AC⊥PB．
（Ⅱ）取BC中点H，连接HD，HC，由已知得∠PHD为二面角P-BC-A的平面角，由此能求出二面角P-BC-A的大小．（Ⅲ）当G为PB中点时，连接FG，AG，设AC∩BD=O，连接OE，由已知得平面BDE∥平面AFG，由此能证明当G为PB中点时，平面BDE∥平面AFG．

解答： （Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，
又四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，又PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，
又PB?平面PBD，∴AC⊥PB．…（4分）
（Ⅱ）解：取BC中点H，连接HD，HC，
由四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，
得△BCD为等边三角形，∴HD⊥BC，PH⊥BC，
∴∠PHD为二面角P-BC-A的平面角，…（6分）
在Rt△PDH中，∠PDH=90°，PD=DH=

3

，
∴∠PHD=45°，即二面角P-BC-A的大小为45°．…（8分）
（Ⅲ）解：当G为PB中点时，平面BDE∥平面AFG．下证：
当G为PB中点时，连接FG，AG，设AC∩BD=O，连接OE，
∵F，G分别是PE，PB的中点，
∴FG∥EB，且FG?平面BDE，EB?平面BDE，
∴FG∥平面BDE，同理，AF∥平面BDE，
又AF∩FG=F，∴平面BDE∥平面AFG，
∴当G为PB中点时，平面BDE∥平面AFG．  …（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查平面与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．