Question

已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集为（0，5），且f（x）在区间[-1，4]上的最大值为12．
（1）求f（x）的解析式； 
（2）若f（x）在区间[a，a+1]上单调，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[-1，1]时，y=f（x）的图象恒在y=2x+m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）不等式f（x）＜0的解集为（0，5），得出f（x）=m（x-5）x，m＞0，f（x）在区间[-1，4]上的最大值为12．f（-1）=12，即可求出解析式．
（2）根据对称轴x=

5

2

，单调性判断得出a≥

5

2

或a+1≤

5

2

，可得答案．
（3）转化为2x²-12x-1＞m，在x∈[-1，1]时恒成立，令k（x）=2x²-12x-1，x∈[-1，1]，单调递减，转为最值来研究恒成立问题．

解答： 解：（1）∵f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集为（0，5），
∴f（x）=m（x-5）x，m＞0，对称轴x=

5

2

∵f（x）在区间[-1，4]上的最大值为12，
∴f（-1）=12，
∴m=2，
∴f（x）=2x²-10x，
（2）∵f（x）在区间[a，a+1]上单调，
∴a≥

5

2

或a+1≤

5

2

，
即a≥

5

2

或a≤

3

2

，
故实数a的取值范围：a≥

5

2

或a≤

3

2

，
（3）∵当x∈[-1，1]时，y=f（x）的图象恒在y=2x+m+1的图象上方，
∴2x²-12x-1＞m，在x∈[-1，1]时恒成立，
令k（x）=2x²-12x-1，x∈[-1，1]，单调递减
∴k（x）≥k（1）=-11，
m＜-11，
故实数m的取值范围：m＜-11．

点评：本题考查二次函数的解析式，对称性，单调性，最大值，最小值，不等式恒成立问题，属于对二次函数的综合题．