Question

在平面直角坐标系xOy中，A、B两点的坐标分别为（0，1）、（0，-1），动点P满足直线AP与直线BP的斜率之积为-

1

4

，直线AP、BP与直线y=-2分别交于点M、N．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）求线段MN的最小值；
（3）以MN为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设动点P（x，y），由k₁•k₂=-

1

4

，得

y-1

x

×

y+1

x

=-

1

4

，由此能求出动点P的轨迹方程．
（2）设直线AP的方程为y-1=k₁（x-0），直线BP的方程为y+1=k₂（x-0），由

y-1=k1x y=-2

，得M（-

3

k1

，-2），由

y+1=k2x y=-2

，得N（-

1

k2

，-2），由此能求出线段MN长的最小值．
（3）设点Q（x，y）是以MN为直径的圆的任意一点，则(x+

3

k1

)(x+

1

k2

)+(y+2)(y+2)=0，由此能求出以MN为直径的圆过定点（0，-2+2

3

）或（0，-2-2

3

）．

解答： 解：（1）设动点P（x，y），∵A（0，1），B（0，-1），
∴直线AP的斜率k₁=

y-1

x

，直线BP的斜率k2=

y+1

x

，
又k₁•k₂=-

1

4

，∴

y-1

x

×

y+1

x

=-

1

4

，
∴动点P的轨迹方程为

x2

4

+y2=1（x≠0）．
（2）设直线AP的方程为y-1=k₁（x-0），
直线BP的方程为y+1=k₂（x-0），
由

y-1=k1x y=-2

，得

x=- 3 k1 y=-2

，∴M（-

3

k1

，-2），
由

y+1=k2x y=-2

，得

x=- 1 k2 y=-2

，∴N（-

1

k2

，-2），
由k1×k2=-

1

4

，得|MN|=|

3

k1

-

1

k2

|=|

3

k1

+4k1|≥2

3 |k1| ×4|k1|

=4

3

，
当且仅当

3

|k1|

=4|k1|，即k1=±

3

2

时，等号成立，
∴线段MN长的最小值为4

3

．
（3）设点Q（x，y）是以MN为直径的圆的任意一点，则

QM

•

QN

=0，
即(x+

3

k1

)(x+

1

k2

)+(y+2)(y+2)=0，
又k₁k₂=-

1

4

，
∴以MN为直径的圆的方程为x2+(

3

k1

-4k1)x+(y+2)2-12=0，
令x=0，得（y+2）²=12，解得y=-2±2

3

，
∴以MN为直径的圆过定点（0，-2+2

3

）或（0，-2-2

3

）．

点评：本题考查动点P的轨迹方程的求法，考查线段MN的最小值的求法，考查满足条件的定点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．