题目内容
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，EC⊥平面ABCD，CB=CD=CE．（Ⅰ）求证：AC⊥平面CBE；
（Ⅱ）求二面角E-BD-C的余弦值．
考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）通过证明AC⊥BC，EC⊥AC，利用直线与平面垂直的判定定理证明AC⊥平面CBE；
（Ⅱ）利用空间向量，求出平面BDC的一个法向量，平面BDE的法向量，利用空间向量的数量积即可求二面角E-BD-C的余弦值．
（Ⅱ）利用空间向量，求出平面BDC的一个法向量，平面BDE的法向量，利用空间向量的数量积即可求二面角E-BD-C的余弦值．
解答：
解：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD，
由余弦定理可知：BD2=CD2+CB2-2CD•CB•cos（1800-∠DAB）=3CD2，
即BD=
CD=
AD，…（2分）
在△ABD中，∠DAB=60°，BD=
AD，
则△ABD为直角三角形，且AD⊥DB．则可知AC⊥BC …（4分）
又EC⊥平面ABCD，则EC⊥AC，故AC⊥平面CBE； …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC⊥CB，设CB=1，
则CA=BD=
，
建立如图所示的空间直角坐标系，E(0，01)，B(0，1，0)，D(
，-
，0)，…（9分）
向量
=(0，0，1)为平面BDC的一个法向量．
设向量
=(x，y，z)为平面BDE的法向量，则
，即
，
取y=1，则x=
，z=1，则
=(
，1，1)为平面BDE的一个法向量．…（10分）cos＜
，
＞=
=
=
，
而二面角E-BD-C的平面角为锐角，则
二面角E-BD-C的余弦值为
．…（12分）
由余弦定理可知：BD2=CD2+CB2-2CD•CB•cos（1800-∠DAB）=3CD2，
即BD=
| 3 |
| 3 |
在△ABD中，∠DAB=60°，BD=
| 3 |
则△ABD为直角三角形，且AD⊥DB．则可知AC⊥BC …（4分）
又EC⊥平面ABCD，则EC⊥AC，故AC⊥平面CBE； …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC⊥CB，设CB=1，
则CA=BD=
| 3 |
建立如图所示的空间直角坐标系，E(0，01)，B(0，1，0)，D(
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
向量
| n |
设向量
| m |
|
|
取y=1，则x=
| 3 |
| m |
| 3 |
| m |
| n |
| ||||
|
|
| 1 | ||
|
| ||
| 5 |
而二面角E-BD-C的平面角为锐角，则
二面角E-BD-C的余弦值为
| ||
| 5 |
点评：本题考查空间向量的数量积的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．
练习册系列答案
优加精卷系列答案
相关题目