Question

若F₁，F₂为椭圆的两个焦点，过F₂的直线交椭圆于P，Q两点，PF₁⊥PQ，且4|PF₁|=3|PQ|，则椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：如图所示，设|QF₂|=m，|PF₂|=n，利用椭圆的定义可得|QF₁|=2a-m，|PF₁|=2a-n．由4|PF₁|=3|PQ|，可得4（2a-n）=3（m+n）．由PF₁⊥PQ，利用勾股定理可得：（2a-n）²+n²=4c²，（2a-n）²+（m+n）²=（2a-m）²．
联立解得即可．

解答： 解：如图所示，
设|QF₂|=m，|PF₂|=n，则|QF₁|=2a-m，|PF₁|=2a-n．
∵4|PF₁|=3|PQ|，∴4（2a-n）=3（m+n），
∵PF₁⊥PQ，
∴（2a-n）²+n²=4c²，
（2a-n）²+（m+n）²=（2a-m）²．
联立

4(2a-n)=3(n+m) (2a-n)2+n2=4c2 (2a-n)2+(m+n)2=(2a-m)2

，化为n=a，代入可得a²=2c²．
解得e=

2

2

．
故答案为：

2

2

．

点评：本题考查了椭圆的定义及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．