Question

已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．圆C：（x-1）²+（y-2）²=25．
（1）求证：直线l恒过定点，并求出此定点；
（2）若直线l被圆C截得的线段的长度为4

6

，求实数m的值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）整理，解方程组，即可得出结论；
（2）若直线l被圆C截得的线段的长度为4

6

，则圆心到直线的距离为1，即可求实数m的值．

解答： 解：（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）可整理为：(2x+y-7)m+x+y-4=0⇒

2x+y-7=0 x+y-4=0

⇒

x=3 y=1

故直线l恒过定点（3，1）…（6分）
（2）若直线l被圆C截得的线段的长度为4

6

，则圆心到直线的距离为1
即

|(2m+1)+2(m+1)-7m-4|

(2m+1)2+(m+1)2

=1⇒

|3m+1|

5m2+6m+2

=1⇒m=±

1

2

…（12分）

点评：本题考查直线恒过定点问题，考查点到直线间的距离公式，考查运算能力，属于中档题．