Question

已知函数f（x）=x³+ax²+4x-6．
（Ⅰ）若f（x）在x=-2处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）命题p：“?x∈R，x²-kx+1＞0”，命题q：“?x∈[1，2]，f（x）-ax²＜k”，若命题“p∧q”是真命题，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,利用导数研究函数的极值

专题：简易逻辑

分析：（I）f′（x）=3x²+2ax+4，由于f（x）在x=-2处取得极值，可得f′（-2）=0，解得a并验证即可．
（II）命题p：“?x∈R，x²-kx+1＞0”，可得△＜0．命题q：“?x∈[1，2]，f（x）-ax²＜k”，设g（x）=f（x）-ax²=x³+4x-6，x∈[1，2]．因此命题q?g（x）_min＜k，利用导数研究其单调性即可得出．再利用命题“p∧q”是真命题，即可得出．

解答： 解：（I）f′（x）=3x²+2ax+4，
∵f（x）在x=-2处取得极值，
∴f′（-2）=12-4a+4=0，解得a=4．
∴f′（x）=3x²-8a+4，
经过验证满足条件．
∴a=4．
（II）命题p：“?x∈R，x²-kx+1＞0”，∴△=k²-4＜0，解得-2＜k＜2．
命题q：“?x∈[1，2]，f（x）-ax²＜k”，
设g（x）=f（x）-ax²=x³+4x-6，x∈[1，2]．
g′（x）=3x²+4＞0，
∴函数g（x）在x∈[1，2]上单调递增，
∴当x=1时，函数g（x）取得最小值，g（1）=-1．
∴k＞-1．
∵命题“p∧q”是真命题，
∴

-2＜k＜2 k＞-1

，解得-1＜k＜2．
∴实数k的取值范围是（-1，2）．

点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、简易逻辑的判定、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．