Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x=

π

12

时取得最大值4，在同一周期中，在x=

5π

12

时取得最小值-4．
（1）求函数f（x）在[0，

2π

3

]上的单调增区间；
（2）若f（

2

3

α+

π

12

）=2，α∈（0，π），求α的值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）依题意可求得A=4，由周期T=

2

3

π可求得ω=3，3×

π

12

+φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），0＜φ＜π可求得φ，从而可得函数f（x）的解析式；由2kπ-

π

2

≤3x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），可求得函数f（x）在[0，

2π

3

]上的单调增区间．
（2）由4sin[3（

2

3

α+

π

12

）+

π

4

]=4sin（2α+

π

2

）=4cos2α=2，可得cos2α=

1

2

，从而解得α的值．

解答： 解：（1）由题设知，A=4，
周期

T

2

=

5π

12

-

π

12

=

π

3

，T=

2

3

π，又ω＞0，
∴ω=

2π

2π 3

=3，
∴f（x）=4sin（3x+φ），
又x=

π

12

时，y取得最大值4，
∴3×

π

12

+φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），
∴φ=2kπ+

π

4

（k∈Z），
∵0＜φ＜π，
∴φ=

π

4

．
∴f（x）=4sin（3x+

π

4

）．
∵由2kπ-

π

2

≤3x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
得

2

3

kπ-

π

4

≤x≤

2

3

kπ+

π

12

（k∈Z），
∴函数f（x）在[0，

2π

3

]上的单调增区间是：[0，

π

12

]∪[

5π

12

，

3π

4

]．
（2）∵f（

2

3

α+

π

12

）=2，α∈（0，π），2α∈（0，2π），
∴4sin[3（

2

3

α+

π

12

）+

π

4

]=4sin（2α+

π

2

）=4cos2α=2，
∴cos2α=

1

2

，
∴2α=

π

3

或者

5π

3

，
从而解得：α=

π

6

或

5π

6

．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象确定函数解析式，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．