题目内容
商丘是商部族的起源和聚居地，商人、商业的发源地和商朝最早的建都地．华商始祖王亥最早在这里，商丘是华商之都，于2006年11月10日在商丘举办首届国际华商文化节，某花卉集团根据需要欲将如图所示一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
（Ⅱ）当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．
考点：基本不等式在最值问题中的应用,不等式的实际应用
专题：应用题,不等式的解法及应用
分析：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则AN=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．
（Ⅱ）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．
（Ⅱ）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．
解答：
解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则AN=（x+2）米
∵
=
，∴AM=
，…（2分）
∴SAMPN=AN•AM=
．
由SAMPN＞32，得
＞32，又x＞0，
得3x2-20x+12＞0，解得：0＜x＜
或x＞6，
即DN长的取值范围是(0，
)∪(6，+∞)． …（6分）
（Ⅱ）矩形花坛AMPN的面积为y=
=
=3x+
+12≥2
+12=24…（10分）
当且仅当3x=
，即x=2时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值24．
故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．…（12分）
∵
| DN |
| AN |
| DC |
| AM |
| 3(x+2) |
| x |
∴SAMPN=AN•AM=
| 3(x+2)2 |
| x |
由SAMPN＞32，得
| 3(x+2)2 |
| x |
得3x2-20x+12＞0，解得：0＜x＜
| 2 |
| 3 |
即DN长的取值范围是(0，
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）矩形花坛AMPN的面积为y=
| 3(x+2)2 |
| x |
| 3x2+12x+12 |
| x |
| 12 |
| x |
3x•
|
当且仅当3x=
| 12 |
| x |
故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．…（12分）
点评：本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．
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