已知点P是椭圆x2a2+y2b2=1上任意一点.过原点的直线l与椭圆交于A.B两点.若kAP与kBP均存在.试问:kAP与kBP的乘积是否为定值?若是.求出这个值．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知点P是椭圆

=1（a＞b＞0）上任意一点，过原点的直线l与椭圆交于A、B两点，若k_AP与k_BP均存在，试问：k_AP与k_BP的乘积是否为定值？若是，求出这个值．

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用点与椭圆的位置关系、椭圆的性质、斜率计算公式即可得出．

解答： 解：设A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），P（m，n）．
则

=1，

=1，
∴

n2-

-m2

．
∴k_AP•k_BP=

n-y0

m-x0

•

n+y0

m+x0

n2-

m2-

．
因此k_AP与k_BP的乘积为定值-

．

点评：本题考查了直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置关系、椭圆的对称性质、斜率计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

练习册系列答案

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下列说法中正确的有（　　）
（1）y=x与y=

是同一函数
（2）函数f（x）=x²-1的零点是（1，0）和（-1，0）
（3）y=

设p：实数x满足x²-4ax+3a²≤0，其中a＜0；q：实数x满足x²+6x+8＞0．若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

定义在[-1，1]上的偶函数f（x），已知当x∈[-1，0]时，f（x）=

（a∈R）．
（I）写出f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值．

已知定义在R的奇函数f（x）满足当x＞0时，f（x）=|2^x-2|，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在图中的坐标系中作出函数y=f（x）的图象，并找出函数的单调区间；
（3）若集合{x|f（x）=a}恰有两个元素，结合函数f（x）的图象求实数a应满足的条件．

如图所示，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，E为PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：PB⊥AD．

商丘是商部族的起源和聚居地，商人、商业的发源地和商朝最早的建都地．华商始祖王亥最早在这里，商丘是华商之都，于2006年11月10日在商丘举办首届国际华商文化节，某花卉集团根据需要欲将如图所示一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．
（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
（Ⅱ）当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

设函数f（x）=

x²+e^x-xe^x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[-2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．

若x，y∈R⁺，且

=1，求u=x+y的最小值．

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