Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=

3

，点E在棱AB上．
（1）求异面直线D₁C与A₁D所成的角的余弦值；
（2）当二面角D₁-EC-D的大小为45°时，求点B到面D₁EC的距离．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：解法一：（1）连结B₁C，则∠D₁CB₁是异面直线D₁E与A₁D所成的角，利用余弦定理，求异面直线D₁C与A₁D所成的角的余弦值；
（2）利用VB-CED1=VD1-BCE，求点B到面D₁EC的距离．
解法二：分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．（1）求出

DA1

=(1，0，1)，

CD1

=(0，-

3

，1)，利用向量的夹角公式，求异面直线D₁C与A₁D所成的角的余弦值；
（2）求出面CED₁的法向量，

CB

=(1，0，0)，从而可求点B到平面D₁EC的距离d=

| CB • n |

| n |

=

3

3

．

解答： 解法一：（1）连结B₁C，∵A₁D∥B₁C
∴∠D₁CB₁是异面直线D₁E与A₁D所成的角
在△D₁CB₁中，D1C=D1B1=2，B1C=

2

，∴cos∠D1CB1=

2

4

∴异面直线D₁C与A₁D所成的角的余弦值为

2

4

．…（5分）
（2）作DF⊥CE，垂足为F，连结D₁F，则CE⊥D₁F．
所以∠DFD₁为二面角D₁-EC-D的平面角，且∠DFD₁=45°．
于是DF=DD1=1，D1F=

2

，
所以Rt△BCE≌Rt△FDC，所以CE=CD=

3

，
又BC=1，所以BE=

2

．…（10分）
设点B到平面D₁EC的距离为h，
则由VB-CED1=VD1-BCE，得

1

3

•

1

2

CE•D1F•h=

1

3

•

1

2

BE•BC•DD1，
因此有CE•D₁F•h=BE•BC•DD₁，即

3

h=1，∴h=

3

3

．…（12分）
解法二：如图，分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
（1）由D（0，0，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），C(0，

3

，0)得

DA1

=(1，0，1)，

CD1

=(0，-

3

，1)
∴cos＜

DA1

，

CD1

＞=

DA1 • CD1

| DA1 || CD1 |

=

1

2 2

=

2

4

…（5分）
（2）

m

=(0，0，1)为面DEC的法向量，设

n

=(x，y，z)为面CED₁的法向量，
则|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m || n |

=

|z|

x2+y2+z2

=cos45°=

2

2

，∴z²=x²+y²…①
由C(0，

3

，0)，得

D1C

=(0，

3

，-1)，则

n

⊥

D1C

，即

n

•

D1C

=0，
∴

3

y-z=0…②
由①、②，可取

n

=(

2

，1，

3

)，又

CB

=(1，0，0)，
∴点B到平面D₁EC的距离d=

| CB • n |

| n |

=

3

3

．…（12分）

点评：本题主要考查空间异面直线的夹角问题与点到平面的距离，而空间角解决的关键是做角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角来，再结合解三角形的有关知识求出答案即可，求点到平面的距离的方法：一般是利用等体积法或者借助于向量求解．