题目内容
如图，有一块抛物线形状的钢板，计划将此钢板切割成等腰梯形ABCD的形状，使得A，B，C，D都落在抛物线上，点A，B关于抛物线的轴对称，且AB=2，抛物线的顶点到底边的距离是2，记CD=2t，梯形面积为S．（1）以抛物线的顶点为坐标原点，其对称轴为y轴建立坐标系，使抛物线开口向下，求出该抛物线的方程；
（2）求面积S关于t的函数解析式，并写出其定义域；
（3）求面积S的最大值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题,函数解析式的求解及常用方法
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）以抛物线的顶点为坐标原点，其对称轴为y轴建立坐标系，设抛物线方程为：x2=-2py（p＞0），由此能求出外轮廓线所在抛物线的方程．
（2）设C（x，y），则CD=2t，x=t，代入抛物线方程得y=-2t2，故梯形的高为2-2t2，由此能求出面积S关于t的函数解析式及其定义域．
（3）S'=-2（t+1）（3t-1），由此利用导数性质能求出当t=
时函数取得最大值，Smax=
．
（2）设C（x，y），则CD=2t，x=t，代入抛物线方程得y=-2t2，故梯形的高为2-2t2，由此能求出面积S关于t的函数解析式及其定义域．
（3）S'=-2（t+1）（3t-1），由此利用导数性质能求出当t=
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解答：
解：（1）以抛物线的顶点为坐标原点，其对称轴为y轴建立坐标系，
设抛物线方程为：x2=-2py（p＞0），
由图得抛物线过点（1，-2），
代入x2=-2py（p＞0）求得p=
，
∴外轮廓线所在抛物线的方程：x2=-
y．…（5分）
（2）设C（x，y），∵CD=2t∴x=t，
代入抛物线方程得y=-2t2，故梯形的高为2-2t2，
∴S=
(2t+2)(2-2t2)=-2t3-2t2+2t+2，…（9分）
又由
，解得t∈（0，1），
∴其定义域为（0，1）．…（10分）
（3）∵S=-2t3-2t2+2t+2，
∴S'=-2（t+1）（3t-1），
令S'=0，解得t=
，（12分）
当0＜t＜
时S'＞0，∴函数在该区间递增，
当
＜t＜1时S'＜0，∴函数在该区间递减，…（14分）
∴当t=
时函数取得最大值，Smax=
．…（16分）
设抛物线方程为：x2=-2py（p＞0），
由图得抛物线过点（1，-2），
代入x2=-2py（p＞0）求得p=
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∴外轮廓线所在抛物线的方程：x2=-
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（2）设C（x，y），∵CD=2t∴x=t，
代入抛物线方程得y=-2t2，故梯形的高为2-2t2，
∴S=
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又由
|
∴其定义域为（0，1）．…（10分）
（3）∵S=-2t3-2t2+2t+2，
∴S'=-2（t+1）（3t-1），
令S'=0，解得t=
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当0＜t＜
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当
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∴当t=
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点评：本题考查抛物线方程的求法，考查函数解析式的求法，考查面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
练习册系列答案
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| 1 |
| tanθ |
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| ||
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| ||
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|
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