Question

已知（2+i）

.

z

=5+3i，求
（1）z和

z

3+i

（2）求出|z-2|
（3）若2x-3y+（x-y）i=5z，求实数x和y．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则求出

.

z

，可得z，从而求得

z

3+i

．
（2）由条件根据复数的模的定义求得|z-2|=|

3

5

+

1

5

i|的值．
（3）由条件利用两个复数相等的充要条件，求出实数x和y的值．

解答： 解：（1）由（2+i）

.

z

=5+3i，可得

.

z

=

5+3i

2+i

=

(5+3i)(2-i)

(2+i)(2-i)

=

13+i

5

=

13

5

+

1

5

i，
∴z=

13

5

-

1

5

i 

z

5+3i

=

13 5 - i 5

5+3i

=

(13-i)(5-3i)

5(5+3i)(5-3i)

=

62-44i

5×34

=

31

85

-

22

85

i．
（2）|z-2|=|

3

5

+

1

5

i|=

( 3 5 )2+( 1 5 )2

=

10

5

．
（3）∵2x-3y+（x-y）i=5z=13+i，∴

2x-3y=13 x-y=1

，∴

x=-10 y=-11

．

点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相等的充要条件，属于基础题．