Question

下列说法正确的是

 

①常数列既是等差数列，又是等比数列
②实数等差数列中，若公差d＜0，则数列必是递减数列
③实数等比数列中，若公比q＞1，则数列必是递增数列
④首项为a₁，公比为q的等比数列的前n项和为Sn=

a1(1-qn)

1-q

⑤若数列a_n=n²+λn（n∈N^*）为单调递增数列，则λ的取值范围是λ＞-3．

Answer 1

考点：等差数列的性质,等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：①③④可举反例说明为假命题；②借助等差数列通项公式及一次函数性质可作出判断；⑤由题意知a_n+1＞a_n恒成立，化简分离参数λ后化为函数的最值求解．

解答： 解：①当常数列的项都为0时，是等差数列但不是等比数列，此命题为假命题；
②∵等差数列的通项公式a_n=a₁+（n-1）d=dn+a₁-d为关于n的一次函数，由d＜0，得到数列必是递减数列，此命题为真命题；
③取首项为-1，公比为2＞1的等比数列，但此数列是递减数列，此命题为假命题；
④当等比数列的公比为1时，等比数列的前n项和公式没有意义，此命题为假命题．
⑤∵数列a_n=n²+λn（n∈N^*）为单调递增数列，
∴a_n+1＞a_n恒成立，即（n-1）²+λ（n+1）＞n²+λn，化简得λ＞-2n-1，
而-2n-1≤-3，∴λ＞-3．此命题为真命题．
∴正确命题的序号是：②⑤．
故答案为：②⑤．

点评：此题考查学生掌握数列的函数特征及利用等比数列的前n项和公式的条件，是一道中档题．本题的解题思想是说明一个命题是假命题只需举一个反例即可，但说明一个命题是真命题必须经过证明．