Question

定义在R上的函数f（x），对任意实数x∈R，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2成立，且f（1）=2，求f（13）．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：根据条件，将x换成x+3，得到f（x+6）≤f（x）+6，两次再将x换成x+2，得到f（x+6）≥f（x）+6，从而f（x+6）=f（x）+6．再令x=7，x=1即可求出f（13）的值．

解答： 解：∵对任意实数x∈R，有f（x+3）≤f（x）+3成立，和f（x+2）≥f（x）+2成立，
∴f（x+6）≤f（x+3）+3≤f（x）+6，即f（x+6）≤f（x）+6，
∵对任意实数x∈R，f（x+2）≥f（x）+2成立，
∴f（x+4）≥f（x+2）+2≥f（x）+4，
∴f（x+6）≥f（x+2）+4≥f（x）+6即f（x+6）≥f（x）+6，
∴f（x+6）=f（x）+6．
∴f（13）=f（7）+6
=f（1）+12，
∵f（1）=2，
∴f（13）=14．

点评：本题考查解决抽象函数的常用方法：赋值或赋式法，正确赋值或赋式是迅速解题的关键，同时考查a≥b且a≤b，则a=b，即两边夹法则，是一道中档题．