已知下列4个结论中其中正确的序号是 ( ) A.已知cosα=13.cos的值为13B.已知2a=3b=k且2a+b=ab.则实数k的值为36C.已知函数f(x)=x2-1.x≥0-1.x＜0.则满足不等式f(2-x2)＞f(3x)的x的取值范围是(-2.-3+172)D.已知函数f=f-1.且当x＞0时.f(x)＞1.若关于x的不等式f(x2-ax+b)＜1的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知下列4个结论中其中正确的序号是（　　）

A、已知cosα=

，cos（α+β）=1则cos（2α+β）的值为

B、已知2^a=3^b=k（k≠1）且2a+b=ab，则实数k的值为36

C、已知函数f(x)=

x2-1，x≥0

-1，x＜0

，则满足不等式f（2-x²）＞f（3x）的x的取值范围是(-

，

-3+

)

D、已知函数f（x）对任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＞0时，f（x）＞1，若关于x的不等式f（x²-ax+b）＜1的解集为{x|-3＜x＜2}，则a+b=-7

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：A．由cos（α+β）=1，可得sin（α+β）=0．再利用cos（2α+β）=cosαcos（α+β）-sinαsin（α+β）即可得出；
B．由2^a=3^b=k（k≠1），化为指数式并利用对数的换底公式可得a=

lgk

lg2

，b=

lgk

lg3

，代入2a+b=ab，化简整理即可得出；
C．函数f(x)=

x2-1，x≥0

-1，x＜0

，满足不等式f（2-x²）＞f（3x），可得：

2-x2≥0

3x≥0

(2-x2)2-1＞(3x)2-1

或

2-x2≥0

3x＜0

(2-x2)2-1＞-1

解出即可；
D．利用已知可证明函数f（x）单调递增，再利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、根与系数的关系即可得出．

解答： 解：A．∵cosα=

，cos（α+β）=1，∴sinα=±

，sin（α+β）=0．
∴cos（2α+β）=cosαcos（α+β）-sinαsin（α+β）=

，因此正确；
B．∵2^a=3^b=k（k≠1），∴a=

lgk

lg2

，b=

lgk

lg3

．
∵2a+b=ab，∴

2lgk

lg2

lgk

lg3

lgk

lg2

•

lgk

lg3

，∵k≠1，∴lgk≠0．
化为lg18=lgk，解得k=18，因此不正确；
C．∵函数f(x)=

x2-1，x≥0

-1，x＜0

，满足不等式f（2-x²）＞f（3x），
∴

2-x2≥0

3x≥0

(2-x2)2-1＞(3x)2-1

或

2-x2≥0

3x＜0

(2-x2)2-1＞-1

解得

-3+

＜x＜1或-

＜x＜0，
因此x的取值范围是(-

，0)∪(

-3+

，1)，可知C不正确；
D．∵函数f（x）对任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，
令x=y=0，可得f（0）=2f（0）-1，解得f（0）=1．
∴f（x-x）=f（x）+f（-x）-1，得到f（x）+f（-x）=2．
设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞1．
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）-1=f（x₂）+2-f（x₁）-1＞1，
化为f（x₂）＞f（x₁），因此函数f（x）在R上单调递增．
由关于x的不等式f（x²-ax+b）＜1=f（0），可得x²-ax+b＜0，
其解集为{x|-3＜x＜2}，∴

-3+2=a

-3×2=b

，解得a=-1，b=-6．
∴a+b=-7，因此正确．

点评：本题综合考查了函数单调性质、一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、根与系数的关系、指数函数与对数函数的互化、对数的换底公式、两角和差的余弦公式等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，属于难题．