Question

对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0     
②f（1）=1
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立；
则称函数f（x）为理想函数．
下面有三个命题：
（1）若函数f（x）为理想函数，则f（0）=0；
（2）函数f（x）=2^x-l（x∈[0.1]）是理想函数；
（3）若函数f（x）是理想函数，假定存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]，且f[f（x₀）]=x₀，则f（x₀）=x₀；    
其中正确的命题个数有（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：

分析：（1）首先，根据理想函数的概念，可以采用赋值法，可考虑取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f（0）=0；
（2）要判断函数g（x）=2^x-1，（x∈[0，1]）在区间[0，1]上是否为“理想函数，只要检验函数g（x）=2^x-1，是否满足理想函数的三个条件即可；
（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x₀）=x₀．，根据f[f（x₀）]=x₀，则f（x₀）=x₀．

解答： 解：（1）取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），可得f（0）≥f（0）+f（0）
即f（0）≤0，由已知?x∈[0，1]，总有f（x）≥0可得f（0）≥0，
∴f（0）=0
（2）显然f（x）=2^x-1在[0，1]上满足f（x）≥0；②f（1）=1．
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
则有f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=2^x₁+x₂-1-[（2^x₁-1）+（2^x₂-1）]=（2^x₂-1）（2^x₁-1）≥0
故f（x）=2^x-1满足条件①②③，所以f（x）=2^x-1为理想函数．
（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．
若f（x₀）＞x₀，则f（x₀）≤f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾；
若：f（x₀）＜x₀，则f（x₀）≥f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾．
故f（x₀）=x₀．
∴三个命题都正确，
故选D．

点评：赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，函数的新定义则转化为函数性质问题，本题则结合指数函数的性质，探讨函数的函数值域，指数函数的单调性的应用等知识点．