Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos

A+C

2

=

1

2

．
（1）若a=3，b=

7

，求c的值；
（2）若f（A）=sinA（

3

cosA-sinA），求f（A）的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式左边变形后，利用诱导公式化简求出sin

B

2

的值，确定出B的度数，再由a，b的值，利用余弦定理求出c的值即可；
（2）f（A）解析式去括号后，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后化为一个角的正弦函数，根据B的度数表示出A+C的度数，确定出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（A）的范围．

解答： 解：（1）在△ABC中，A+B+C=π，
∴cos

A+C

2

=cos

π-B

2

=sin

B

2

=

1

2

，
∴

B

2

=

π

6

，即B=

π

3

，
∵a=3，b=

7

，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，即7=9+c²-3c，
整理得：c²-3c+2=0，
解得：c=1或c=2；
（2）f（A）=sinA（

3

cosA-sinA）=

3

2

sin2A-

1-cos2A

2

=sin（2A+

π

6

）-

1

2

，
由（1）得B=

π

3

，
∴A+C=

2π

3

，即A∈（0，

2π

3

），
∴2A+

π

6

∈（

π

6

，

3π

2

），
∴sin（2A+

π

6

）∈（-1，1]，
∴f（A）∈（-

3

2

，

1

2

]，
∴f（A）的取值范围是（-

3

2

，

1

2

]．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，余弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．