Question

设函数f（x）=xlnx
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间[

1

8

，

1

2

]的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知条件条件推导出函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，由此能求出f（x）的单调区间．
（2）由f(

1

8

)=

1

8

ln

1

8

=

3

8

ln

1

2

，f（

1

2

）=

1

2

ln

1

2

，f（

1

e

）=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

，能求出f（x）在区间[

1

8

，

1

2

]的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=xlnx，∴函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，
令f′（x）=lnx+1=0，得x=

1

e

，
令f′（x）＞0，得x＞

1

e

；令f′（x）＜0，得0＜x＜

1

e

．
∴f（x）的单调递增区间为（

1

e

，+∞），单调减区间为（0，

1

e

）．
（2）∵f(

1

8

)=

1

8

ln

1

8

=

3

8

ln

1

2

，
f（

1

2

）=

1

2

ln

1

2

，f（

1

e

）=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

，
又

1

2

ln

1

2

＜

3

8

ln

1

2

，
∴f（x）在区间[

1

8

，

1

2

]的最大值为

3

8

ln

1

2

．最小值为-

1

e

．（12分）

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查函数的最大值和最小值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．