Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，

tanB

tanC

=

2a-c

c

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求函数f（x）=sinx•cos（x+B）+

3

4

（x∈[0，

π

2

]）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）△ABC中，由正弦定理和三角函数的恒等变换，求出cosB的值，即得角B；
（Ⅱ）利用三角恒等变换，把f（x）化为

1

2

sin（2x+

π

3

），求出2x+

π

3

的取值范围，即得f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）△ABC中，∵

tanB

tanC

=

2a-c

c

，
∴

sinBcosC

cosBsinC

=

2sinA-sinC

sinC

；
又sinC＞0，
∴sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB=sinA，
∴cosB=

1

2

，
∴B=

π

3

；
（Ⅱ）∵f（x）=sinx•cos（x+

π

3

）+

3

4

=

1

2

sinxcosx-

3

2

sin²x+

3

4

=

1

4

sin2x+

3

4

cos2x
=

1

2

sin（2x+

π

3

），
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1；
∴f（x）的值域为[-

3

4

，

1

2

]．

点评：本题考查了正弦定理和三角恒等变换的应用问题，解题时应根据三角恒等变换公式和正弦定理进行化简与求值，是综合性题目．