Question

已知函数f（x）=

cos2x

sin(x+ π 4 )

的定义域为D，集合A=[-π，π]．
（Ⅰ）求D∩A；
（Ⅱ）若f（x）=

4

3

，求sin2x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）首先，求解函数的定义域，然后，借助于集合的交集运算求解；
（Ⅱ）首先，利用f（x）=

4

3

，得到cosx-sinx=

2 2

3

，然后，借助于二倍角公式求解．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，sin(x+

π

4

)≠0，
∴x+

π

4

≠kπ(k∈Z)，
则函数f（x）的定义域为D={x∈R|x≠kπ-

π

4

，k∈Z}，
而A=[-π，π]，
∴x≠-

π

4

，x≠

3π

4

，
∴集合A∩D=[-π，-

π

4

)∪(-

π

4

，

3π

4

)∪(

3π

4

，π]．
（Ⅱ）f(x)=

cos2x

sin(x+ π 4 )

=

cos2x

sinxcos π 4 +cosxsin π 4

=

2 cos2x

sinx+cosx

=

2 (cos2x-sin2x)

sinx+cosx

=

2

(cosx-sinx)．
∵f(x)=

4

3

，
∴cosx-sinx=

2 2

3

．
∴sin2x=1-（cosx-sinx）²=1-

8

9

=

1

9

．

点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、二倍角公式、两角和与差的三角函数等知识，属于中档题．