Question

已知抛物线C：y=x²，直线l：x-2y-2=0，点P是直线l上任意一点，过点P作抛物线C的切线PM，PN，切点分别为M，N，直线PM，PN斜率分别为k₁，k₂，如图所示
（1）若P（4，1），求证：k₁+k₂=16；
（2）若MN过抛物线的焦点，求点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设过P的切线方程：y-1=k（x-4），代入抛物线C得：x²-kx+4k-1=0，由△=0，能证明k₁+k₂=16．
（2）设MN：y=kx+

1

4

，代入抛物线方程得x2-kx-

1

4

=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），对y=x²求导数，求出直线PM和直线PN的方程，由此能求出点P的坐标．

解答： （本小题12分）
（1）证明：设过P的切线方程为：y-1=k（x-4），
代入抛物线C，消去y得：x²-kx+4k-1=0，
由△=k²-4（4k-1）=0，∴k²-16k+4=0，
∵该方程的两个根为直线PM，PN斜率k₁，k₂，
∴k₁+k₂=16．（5分）
（2）解：∵抛物线的焦点(0，

1

4

)，∴设MN：y=kx+

1

4

，
代入抛物线方程消去y得：x2-kx-

1

4

=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x1+x2=k，x1x2=-

1

4

，
对y=x²求导数，y'=2x，∴k₁=2x₁，k₂=2x₂，
∴直线PM：y-y₁=2x₁（x-x₁），直线PN：y-y₂=2x₂（x-x₂），
∴点P(k，-

1

4

)，∵P在直线l上，∴k=

3

2

，
∴P(

3

2

，-

1

4

)．（12分）

点评：本题考查两直线斜率和为16的证明，考查点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．