Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=

1

2

AA1，D，M分别是AA₁，BC的中点，则DM与侧面B₁BCC₁所成的角正弦值为（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  6

  3

• C、

  3

  2

• D、

  3

  3

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：建立空间直角坐标系，利用向量求得侧面B₁BCC₁的法向量，利用向量的数量积的求向量DM，与法向量的夹角的余弦值．

解答： 解：分别以AB，AC，AA₁为x，y，z建立空间直角坐标系，如图，设AB=2，则AA₁=4，
则B（2，0，0），C（0，2，0），B₁（2，0，4），D（0，0，2），M（1，1，0），
所以

BC

=（-2，2，0），

BB1

=（0，0，4），

DM

=（1，1，-2），
设侧面B₁BCC₁法向量为

n

=（x，y，z），则

n • BC =0 n • BB1 =0

，即

-2x+2y=0 4z=0

，令x=1，则侧面的一个法向量为

n

=（1，1，0），
所以

n

•

DM

=1+1=2，

|n

|=

2

，

|DM

|=

6

，
所以cos＜

n

，

DM

＞=

2

2 6

=

3

3

，
所以DM与侧面B₁BCC₁所成的角正弦值为

3

3

；
故选D．

点评：本题考查了线面角的求法，本题采用了利用空间向量的数量积解决；关键是适当建立坐标系，正确计算点的坐标以及向量的坐标；属于中档题．