Question

已知平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，椭圆上一动点到焦点的最长距离是2+

3

，最短距离是2-

3

（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若椭圆的焦点在y轴上，直线l：y=2x+m截椭圆所得的弦的中点为M，求M的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直接由题意得到关于a，c的方程组，求出a，c后结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设直线l交椭圆于P、Q两点，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ中点M（x₀，y₀），由点差法得到M点的坐标满足的关系式，再由M在直线y=2x+m上，把M的坐标用含有m的代数式表示，消去m得答案．

解答： 解：（1）由题意可知，

a+c=2+ 3 a-c=2- 3

，解得

a=2 c= 3

，
则b²=a²-c²=4-3=1，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1或

y2

4

+x2=1；
（2）焦点在y轴上的椭圆方程为

y2

4

+x2=1．
设直线l：y=2x+m和椭圆交于P、Q两点，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ中点M（x₀，y₀），
则

y12

4

+x12=1，

y22

4

+x22=1，
作差得：

(y1-y2)(y1+y2)

4

=-(x1-x2)(x1+x2)，
即

y1-y2

x1-x2

=-

4(x1+x2)

y1+y2

=-

4x0

y0

，
∴-

4x0

y0

=2，y₀=-2x₀  ①，
又点M（x₀，y₀）在直线l：y=2x+m上，
∴y₀=2x₀+m  ②，
联立①②得，x₀=-

m

4

，y₀=

m

2

，消去m得：2x₀+y₀=0．
∴M的轨迹方程为2x+y=0．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，训练了点差法求与弦中点有关的问题，训练了利用消参法取曲线的方程，是中档题．