题目内容
已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB1，BC1上两点，且B1E=C1F，求证：
（1）EF∥平面ABC；
（2）平面ACD1∥平面A1BC1．
（1）EF∥平面ABC；
（2）平面ACD1∥平面A1BC1．
考点：直线与平面平行的判定,平面与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）根据直线与平面平行的判定定理可知：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和这个平面平行，故只需在平面ABCD中找到与EF平行的直线即可；
（2）先证明A1C1∥平面A1BC1，同理，得A1B∥平面A1BC1，从而命题得证．
（2）先证明A1C1∥平面A1BC1，同理，得A1B∥平面A1BC1，从而命题得证．
解答：
证明：（1）分别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连接MN．
∵BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥AB，BB1⊥BC．
∴EM∥BB1，FN∥BB1．∴EM∥FN．
又B1E=C1F，∴EM=FN．
故四边形MNFE是平行四边形．
∴EF∥MN．又MN在平面ABCD中，
∴EF∥平面ABCD．
（2）
如图所示，连接A1B、A1C、AD1、CD1、BC1、如图，
则AC∥A1C1，又因为AC?平面A1BC1，
∴A1C1∥平面A1BC1，
同理，得A1B∥平面A1BC1，
∴平面ACD1∥平面A1BC1．
∵BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥AB，BB1⊥BC．
∴EM∥BB1，FN∥BB1．∴EM∥FN．
又B1E=C1F，∴EM=FN．
故四边形MNFE是平行四边形．
∴EF∥MN．又MN在平面ABCD中，
∴EF∥平面ABCD．
（2）
如图所示，连接A1B、A1C、AD1、CD1、BC1、如图，
则AC∥A1C1，又因为AC?平面A1BC1，
∴A1C1∥平面A1BC1，
同理，得A1B∥平面A1BC1，
∴平面ACD1∥平面A1BC1．
点评：本题重点考查了空间中直线与直线平行、直线与平面平行、平面和平面平行的判定和性质等知识，属于中档题，解题关键是熟练运用判定和性质定理进行解题．
练习册系列答案
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